2122.11 – Factoring a Cubic

If a ≠ ba \neq b, a3 − b3 =19x3a^3 - b^3 = 19x^3, and a − b = xa - b = x, which of the following conclusions is correct?

  1. a =3x,a = 3x,
  2. a =3xa = 3x or a =−2x,a = -2x,
  3. a =−3xa = -3x or a =2x,a = 2x,
  4. a =3xa = 3x or a =2x,a = 2x,
  5. a =2x.a = 2x.
Solution

Given a ≠ b, a3 − b3 =19x3,a \neq b, a^3 - b^3 = 19x^3, and a − b = xa - b = x. We need to find aa in terms of xx because that is the form of all the given answers. Therefore, bb must go, and so we note that b = a − x.b = a - x. We next take a deep breath.

a3 − b3 =(a − b)(a2 + ab + b2)19x3= x (a2 + a (a − x)+(a − x)2)= x (a2 + a2 − ax + a2 −2ax +x2)= x (3a2 −3ax + x2)= 3a2x −3ax2 + x30=3a2x −3ax2 −18x3=3x (a2 − ax −6x2)=3x (a−3x)(a +2x)\begin{aligned} a^3 - b^3 &= (a - b)(a^2 + ab + b^2) \\ 19x^3 &= x (a^2 + a (a - x) + (a - x)^2) \\ &= x (a^2 + a^2 - ax + a^2 - 2ax +x^2) \\ &= x (3a^2 - 3a^x + x^2) \\ &= 3a^2x - 3ax^2 + x^3 \\ 0 &= 3a^2x - 3ax^2 - 18x^3 \\ &= 3x (a^2 - ax - 6x^2) \\ &= 3x (a - 3x)(a + 2x) \end{aligned}

So a =3xa = 3x or a =−2xa = -2x. This is answer (b). Whew.