Students ought to be able to argue that at least the solution values are interchangeable, that is, that if x = a , y = b , z = c x = a, y = b, z = c x = a , y = b , z = c x = c , y = z , z = b x = c, y = z, z = b x = c , y = z , z = b x x x
x 2 − ( y + z ) x + ( y 2 − y z + z 2 ) = 0. x^2 - (y + z) x + (y^2 - yz + z^2) = 0. x 2 − ( y + z ) x + ( y 2 − yz + z 2 ) = 0.
The quadratic formula gives:
x = ( y + z ) ± ( y + z ) 2 − 4 ( y 2 − y z + z 2 ) 2 . x = \frac{(y + z) ± \sqrt{(y+z)^2 - 4 (y^2 - y z + z^2)}}{2}. x = 2 ( y + z ) ± ( y + z ) 2 − 4 ( y 2 − yz + z 2 ) .
Amazingly, the discriminant factors:
( y + z ) 2 − 4 ( y 2 − y z + z 2 ) = y 2 + 2 y z + z 2 − 4 y 2 + 4 y z − 4 z 2 ) = − 3 y 2 + 6 y z − 3 z 2 = − 3 ( y − z ) 2 = 3 ( y − z ) ( z − y ) .
\begin{aligned}
(y+z)^2 - 4 (y^2 - yz + z^2) & = & y^2 + 2 y z + z^2 - 4 y^2 + 4 y z - 4 z^2) \\
& = & -3 y^2 + 6 y z - 3 z^2 \\
& = & -3 (y - z)^2 \\
& = & 3 (y - z) ( z - y).
\end{aligned}
( y + z ) 2 − 4 ( y 2 − yz + z 2 ) = = = = y 2 + 2 yz + z 2 − 4 y 2 + 4 yz − 4 z 2 ) − 3 y 2 + 6 yz − 3 z 2 − 3 ( y − z ) 2 3 ( y − z ) ( z − y ) . Now we have,
x = ( y + z ) ± 3 ( y − z ) ( z − y ) 2 . x = \frac{(y + z) ± \sqrt{3 (y - z) ( z - y)}}{2}. x = 2 ( y + z ) ± 3 ( y − z ) ( z − y ) .
Observe that unless y = z , y = z, y = z , y − z y - z y − z z − y z - y z − y y = z y = z y = z x = y x = y x = y x = z x = z x = z